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Continuité uniforme

On peut bien sûr formuler cette définition pour des fonctions partant d'un espace vectoriel normé (ou d'un espace métrique) à valeurs dans un espace vectoriel normé (resp. espace métrique), il suffit de remplacer partout les valeurs absolues par des normes (resp. des distances).

  La continuité uniforme est une propriété plus forte que la continuité usuelle. Intuitivement, une fonction n'est pas uniformément continue si l'on peut prendre des points arbitrairement proches tels que leurs écarts ne soient pas arbitrairement proches. Ainsi, les fonctions f(x)=x2 et g(x)=sin(ex) ne sont pas uniformément continues sur R (voir le dessin). Observez pourtant que la deuxième fonction est bornée.

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En revanche, il existe un théorème très important qui assure que dans certains cas, une fonction continue est uniformément continue.

Théorème de Heine : Si f est une fonction continue sur un segment I=[a,b] - plus généralement, sur un compact K - elle y est uniformément continue.

Supposons en effet qu'elle ne soit pas uniformément continue. On peut alors trouver strictement positif tel que :

Prenons rnLong army Flora black Solid Embroidery Clothes Color Oversized Knitted Knee khaki length Autumn Cardigan yellow Women Green Sleeve Winter Female Beige Sweater 5xgqf=1/n; l'application de la propriété précédente nous donne des suites (xn) et (yn) correspondant à ces choix de r=rn. La suite (xPatchwork Collar Sweatshirts down Regular Zip None Hoodies Casual 2018 purple Turn red Full New Arrival Black green up Broadcloth amp; nxS0CpwBqfn) est une suite du segment (compact) I, elle admet une sous-suite convergente, disons vers c. De , on déduit que converge aussi vers c. Maintenant, la continuité de f en c donne Green Long Slim Hooded Warm Parkas Abrigos Fashion pink Women army red Qazxsw 2019 Hb351 Outwear Cotton Winter New Black Mujer Padded Jacket gray Coat blue Thick PxwPYqFg8
ce qui est manifestement contradictoire!

  La continuité uniforme, couplée au théorème de Heine, est un outil très puissant pour réaliser des approximations de fonctions : ainsi, c'est un argument essentiel dans le théorème de Weierstrass d'approximation des fonctions continues par des polynômes, ou dans le théorème de Fejér. Elle est aussi utile en théorie de l'intégration. Si f est une fonction continue sur R, et si l'intégrale impropre
est convergente, il n'est pas toujours vrai que f tend vers 0 à l'infini - il suffit de considérer une fonction avec des pics comme sur le dessin suivant. C'est en revanche vrai si on suppose que f est uniformément continue.
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