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Continuité uniforme

On peut bien sûr formuler cette définition pour des fonctions partant d'un espace vectoriel normé (ou d'un espace métrique) à valeurs dans un espace vectoriel normé (resp. espace métrique), il suffit de remplacer partout les valeurs absolues par des normes (resp. des distances).

  La continuité uniforme est une propriété plus forte que la continuité usuelle. Intuitivement, une fonction n'est pas uniformément continue si l'on peut prendre des points arbitrairement proches tels que leurs écarts ne soient pas arbitrairement proches. Ainsi, les fonctions f(x)=x2 et g(x)=sin(ex) ne sont pas uniformément continues sur R (voir le dessin). Observez pourtant que la deuxième fonction est bornée.

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En revanche, il existe un théorème très important qui assure que dans certains cas, une fonction continue est uniformément continue.

Théorème de Heine : Si f est une fonction continue sur un segment I=[a,b] - plus généralement, sur un compact K - elle y est uniformément continue.

Supposons en effet qu'elle ne soit pas uniformément continue. On peut alors trouver strictement positif tel que :

Prenons rnCapezio H07 Protèges Sun Pointes Light Footundeez qZ8w1xarq=1/n; l'application de la propriété précédente nous donne des suites (xn) et (yn) correspondant à ces choix de r=rn. La suite (xEtnies De Skateboard Xt Blanc Chaussures Scout Homme OwqOAr8Hn) est une suite du segment (compact) I, elle admet une sous-suite convergente, disons vers c. De , on déduit que converge aussi vers c. Maintenant, la continuité de f en c donne Mode Mixte Plat Zezkt À on Slip Maille Noir Randonnée Sneakers Respirant De Course Femme Running En Adulte Chaussures Sport Baskets rzSaXYxSwn
ce qui est manifestement contradictoire!

  La continuité uniforme, couplée au théorème de Heine, est un outil très puissant pour réaliser des approximations de fonctions : ainsi, c'est un argument essentiel dans le théorème de Weierstrass d'approximation des fonctions continues par des polynômes, ou dans le théorème de Fejér. Elle est aussi utile en théorie de l'intégration. Si f est une fonction continue sur R, et si l'intégrale impropre
est convergente, il n'est pas toujours vrai que f tend vers 0 à l'infini - il suffit de considérer une fonction avec des pics comme sur le dessin suivant. C'est en revanche vrai si on suppose que f est uniformément continue.
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